Función exponencial

 La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del natural. En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece además en muchas ecuaciones de la física. Esta función exponencial se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función son iguales al valor de la propia función (siendo la función exponencial la única función con esta propiedad). Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural.propiedades: Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama (función) exponencial la función definida sobre los reales por x →ex.

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.

La exponencial transforma una suma en una constante de la forma intrínseca del vértice de las siguientes ecuaciones:

Relación adición-multiplicación                                                                                                        Sus límites                                                                                                                                Inversa del logaritmo

La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (-1, 0).

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación

        Funciones logarítmica

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f^-1  se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.  Si f(x) = b^x, en lugar de usar la notación f^-1(x), se escribe log_b (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log_b(x) como el  “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión log_b(x) un logaritmo. 

Definición:El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces

log_b y = x  si y sólo si  y = b^x.

Nota: La notación log_b y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

 Ejemplo:

1)  ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 5² = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.   Simbólicamente lo expresamos de la forma log₅ 25 = 2.   De  manera que,  log₅ 25 = 2  es  equivalente a  5² = 25.  (Observe que UN logaritmo es un exponente.)

2)  También podemos decir que 2³ = 8 es equivalente a log₂ 8 = 3.

Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.   De manera que, log₁₀ 3  está definido, pero el log₁₀ 0  y  log₁₀ (-5) no lo están.

 

 

  FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICO