martes, 5 de junio de 2012


                      Función exponencial
 La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del natural. En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece además en muchas ecuaciones de la física. Esta función exponencial se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función son iguales al valor de la propia función (siendo la función exponencial la única función con esta propiedad). Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural.propiedades: Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama (función) exponencial la función definida sobre los reales por x →ex.
La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
La exponencial transforma una suma en una constante de la forma intrínseca del vértice de las siguientes ecuaciones:
Relación adición-multiplicación                                                                                                        Sus límites                                                                                                                                Inversa del logaritmo
La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (-1, 0).
La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación
        Funciones logarítmica

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f-1  se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.  Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el  “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo. 
Definición:El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces
logb y = x  si y sólo si  y = bx.
Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.
 Ejemplo:
1)  ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 52 = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.   Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2.   De  manera que,  log5 25 = 2  es  equivalente a  52 = 25.  (Observe que UN logaritmo es un exponente.)

2)  También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.
Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.   De manera que, log10 3  está definido, pero el log10 0  y  log10 (-5) no lo están.
 
 

  FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICO

FUINCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS E INVERSAS

             FUNCIONES      DIRECTAS                                                    Las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).




 



FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS DIRECTAS

 Seno
La función seno es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su seno
f (x) = sen x
Coseno
La función coseno es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su coseno.
f(x) = cos x
Tangente
La función tangente es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su tangente.
f(x) = tg x
Cotangente
La función cotangente es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su cotangente.
f(x) = cotg x
Secante
La función secante es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su secante.
f(x) = sec x
Cosecante
La función cosecante es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su cosecante.
f(x) = cosec x





 




 Función


















Abreviatura




Equivalencias (en radianes)
sin (sen)
cos
tan
ctg (cot)
sec
csc (cosec)


FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS          Son necesarias para calcular los ángulos de un triángulo a partir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son invectivas pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa



 



Conviene recordar que:
a). Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente).
b.) Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno".
De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación.
Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función

DERIVADAS SUCESIVAS

Tanto en el estudio del cálculo como en otras ramas del conocimiento, principalmente la física y la ingeniería, aparecen con frecuencia derivadas de orden mayor a uno, conocidas con el nombre de derivadas sucesivas o derivadas de orden superior. De manera general, la derivada de una función , sigue siendo función de la misma variable independiente x. Esto nos permite, hallar la derivada de la primera derivada, o, como también se le llama, segunda derivada; a su vez, la segunda derivada también puede ser función de x, por lo cual, podemos hallar la derivada de la segunda derivada, también llamada tercera derivada, y así sucesivamente. Las derivadas sucesivas de una función se representan, generalmente, de la siguiente forma: La primera derivada. Derivadas sucesivas
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada ve El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.
La derivada de la primera derivada es la segunda derivada, la cual se expresa como:
La derivada de la segunda derivada es la tercera derivada, la cual se expresa como:  
La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada, la cual se expresa como:
  Y así sucesivamente, hasta la n -ésima derivada:
  
UNA DERIVADA SUCESIVA .Al derivar una función puede ocurrir q la función resultante sea también derivable, en este caso la derivada de la primera derivada se llama la segunda derivada de la función primitiva. Análogamente, la derivada de la segunda se llama tercera derivada y así sucesivamente. Los símbolos para las derivadas sucesivas se escriben ordinariamente como siguen                                           3. Entonces podemos indicar que los símbolos quedarían de la siguiente manera: y’ = 1º Derivada y’ ’ = 2º Derivada y’ ’ ’ = 3º Derivada’ ’ ’ ’ = 4º Derivada Una función     es derivable en el intervalo     si lo es en cada punto de dicho intervalo. Si    es una función derivable en el intervalo   , la función derivada de  es la que a cada  le hace corresponder la derivada de en dicho punto. Esta función se designa por  la que Llamamos derivada de segundo orden o derivada segunda de     a la función derivada de .Esta función se denota por . Llamamos derivada de tercer orden o derivada tercera de   a la función derivada de   .                                                                                                                                                    Esta función se denota por  . En general,   llamamos derivada n-ésima de  y la denotamos por  a la función derivada de   .


Explicaremos la existencia de las derivadas sucesivas, mostrando que surgen de derivar las mismas funciones una y otra vez, hasta que la expresión lo permita. Trabajaremos con dos ejemplos, uno en donde la sucesión de derivadas tiene un final y otra en donde el procedimiento sigue indefinidamente. Explicaremos regla de la cadena, haciendo un breve repaso de las funciones compuestas
Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y así sucesivamente.
                   Derivada enésima
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x).