DERIVADAS SUCESIVAS

Tanto en el estudio del cálculo como en otras ramas del conocimiento, principalmente la física y la ingeniería, aparecen con frecuencia derivadas de orden mayor a uno, conocidas con el nombre de derivadas sucesivas o derivadas de orden superior. De manera general, la derivada de una función , sigue siendo función de la misma variable independiente x. Esto nos permite, hallar la derivada de la primera derivada, o, como también se le llama, segunda derivada; a su vez, la segunda derivada también puede ser función de x, por lo cual, podemos hallar la derivada de la segunda derivada, también llamada tercera derivada, y así sucesivamente. Las derivadas sucesivas de una función se representan, generalmente, de la siguiente forma: La primera derivada. Derivadas sucesivas

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada ve El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

La derivada de la primera derivada es la segunda derivada, la cual se expresa como:

La derivada de la segunda derivada es la tercera derivada, la cual se expresa como:  

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada, la cual se expresa como:

  Y así sucesivamente, hasta la n -ésima derivada:

  

UNA DERIVADA SUCESIVA .Al derivar una función puede ocurrir q la función resultante sea también derivable, en este caso la derivada de la primera derivada se llama la segunda derivada de la función primitiva. Análogamente, la derivada de la segunda se llama tercera derivada y así sucesivamente. Los símbolos para las derivadas sucesivas se escriben ordinariamente como siguen                                           3. Entonces podemos indicar que los símbolos quedarían de la siguiente manera: y’ = 1º Derivada y’ ’ = 2º Derivada y’ ’ ’ = 3º Derivada’ ’ ’ ’ = 4º Derivada Una función     es derivable en el intervalo     si lo es en cada punto de dicho intervalo. Si    es una función derivable en el intervalo   , la función derivada de  es la que a cada  le hace corresponder la derivada de en dicho punto. Esta función se designa por  la que Llamamos derivada de segundo orden o derivada segunda de     a la función derivada de .Esta función se denota por . Llamamos derivada de tercer orden o derivada tercera de   a la función derivada de   .                                                                                                                                                    Esta función se denota por  . En general,   llamamos derivada n-ésima de  y la denotamos por  a la función derivada de   .

Explicaremos la existencia de las derivadas sucesivas, mostrando que surgen de derivar las mismas funciones una y otra vez, hasta que la expresión lo permita. Trabajaremos con dos ejemplos, uno en donde la sucesión de derivadas tiene un final y otra en donde el procedimiento sigue indefinidamente. Explicaremos regla de la cadena, haciendo un breve repaso de las funciones compuestas

Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'^v y así sucesivamente.

                   Derivada enésima

En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'ⁿ(x).