martes, 5 de junio de 2012

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCION      
Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene “huecos”. En la figura 2.6., aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x = a de su dominio (fig. 2.6. (a) y 2.6. (b)) y la otra (fig. 2.6. ((c)) continua en todo su dominio. Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.                                                                                  Continuidad de una función en un punto                                                                                        Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes                                                                                          
1.Que el punto x= a tenga imagen.                                                                                                                             2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
          Estudiar la continuidad de en x =2
F(2)= 4 Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva. En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abscisa exhibe allí una discontinuidad. La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a. Expresemos esto en términos del concepto de límite... Definición   Continuidad: Una función f(x) es continua en un punto  silimx->af(x)=f(a).                                                                                                                                                    Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).                                                                                                                                           
          Discontinuidades  de una función

                  Discontinuidades:
Si una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto, la discontinuidad puede ser:
  • Evitable. si existen f(a) y es un número real, pero no coinciden. Se evita la discontinuidad haciendo
  • No evitable, ésta a su vez se divide en discontinuidad de primera especie, existen los límites laterales en el punto pero no coinciden y de segunda especie, no existe alguno de los límites laterales.
    • Discontinuidad de primera especie:
      • Salto finito, los dos límites laterales son un número real, el salto es la diferencia entre los límites laterales.
      • Salto infinito, uno de los límites laterales es infinito.





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